persamaan garis lurus

Persamaan garis lurus

A.    Koordinat caartesius

Garis mendatar pada koordinat Cartesius dinamakan sumbu x dan garis vertikal dinamakan sumbu Y. Kedua garis tersebut berpotongan pada titik asal ( 0). Absis dan koordinat titik A dinamakan koordinat cartesius.

1.      Jarak dua titik bidang

Dalil Pythagoras menyarakan jika a dan b merupakan ukuran masing-masing dari kedua kaki suatu segitiga siku-siku dan c merupakan ukuran sisi miringnya, maka berlaku :

Sekarang pandanglah kedua titik P dan Q sembarang, masing-masing dengan koordinat (....) dan (...) bersama dengan R, titik dengan koordinat (,,,,) da (..) Pdan Q adalah titik sudut sebuah segitiga siku-siku panjang PR dan RQ masing-masing () dan I...I jika dalil phytagoras di terapkan dan di ambil akar kuadrat utama dari kedua ruas, maka kalian akan memperoleh rumus jarak dua titik antara P dan Q  pada bilangan berikut:

(............................................)

2.      Koordinat titik sembarang pada ruas garis

a.       Jika A () dan B () adalah dua titik yang berlainan bidang dan C adalah suatu titik yang berada pada AB , sehingga AC: CB =m:n, maka koordinat titik C () dengan

................

b.      Jika A () dan B () adalah dua titik yang berlainan di bidang , maka koordinat titik tengah ruas garis AB adalah C () dengan ................

3.      Koordinat titik berat segitiga

Kalian dapat pula menerapkan rumus koordinat sembarang pada ruas garis untuk menentukan koordinat titik berat suatu segitiga semberang titik-titik sudut di ketahui AD,BE dan CF adalah garis – garis berat yang berpotongan di titik Z, sehingga AZ: ZD = BZ : ZE =CZ :ZF =2:1

Perhatikan gambar ABC sebangun dengan segitiga FDB.

                                                                        AC= 2FD

Sehingga ACZ sebangun dengan segitiga DFZ sehingga

AZ = 2ZD atau AZ : ZD = 2:1

Sifat-sifat persamaan garis

1.       pengertian persamaan garis lurus

garis lurus adalah kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Dianggap bahwa semua siswa memahami dengan baik mengenai konsep ini dengan melihat pada sebuah tali tegang atau mengamati sepanjang sisi sebuah penggaris. Selanjutnya kita gunakan kata Garis sebagai singkatan garis lurus.

Bidang koordinat adalah himpunan titik-titik () ........karena suatu fungsi di tentukan dengan himpunan pasangan berurutan ()........atau .................dengan .......... dinamakan fungsi F sedangkan y=f(x) dinamakan persamaan garis f

Bentuk umum persamaan garis

Persamaan garis dalam bentuk umum di nyatakan sebagai Ax + By + C= 0, dengan A dan B tidak nol. Persamaan dapat di kembalikan dalam bentuk y=mx+n,sebagai berikut

Ax+By +C =0

By=-Ax – C

y=  -  -  x - -

gradien persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk

jika P() dan Q () adalah dua titik yang tidak berhimpit pada garis g yang sejajar dengan sumbu Y, maka gradien garis g yang dinyatakan dengan m () di tentukan oleh

m=

Persamaan Dan Koordinat Titik Potong Dua Garis

1.      Persamaan dua garis

a.       Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ()

Bentuk umum dari persamaan garis adalah y=mx+c. Garis yang terdapat pada gambar di bawah ini melalaui titik A () sehingga ........jika persamaan y kalian kurangkan dengan persamaan y1 maka diperoleh :

y = mx + c                                                                                                                                          

dari penjelasan diatas maka kalian mendapatkan dalil sebagai berikut:

Dalil:

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik () adalah y-y1 =m(x-x1)

b.      Persamaan dua garis yang melalui dua titik

Dalil:

Persamaan garis yang melalui titik(x1-y1) adalah............................

c.       Persamaan (0,n) dengan gradien m

Dalil:

·         Persamaan garis melalui titik (0,n) dengan gradien m adalah y= mx + n

·         Persamaan garis melalui titik (0,0) dengan gradien m adalah y= mx

Sejalan dengan uraian di atas dapat di kemukakan bahwa :

1.      Jika titik() terletak pada garis g = y= mx + n maka y1 = mx + n. Sebaliknya jika y1 = mx + n maka titik ()terletak pada garis g. Kita dapat menulisnya sebagai berikut.

Titik ()terletak pada garis g sehingga y1 = mx + n

2.      Betuk persamaan y = mx + n dapat digunakan jika kita hendak mencari gradien sebuah garis. Sebagai ilustrasi,  gradien garis Ax+By +C= 0 dapat ditentukan sebagai berikut:

...........................................................................................................................

d.      Garis melalui titik (x1,y1);(x2,y2) dan (x3,y3)

Dalil:

...........................................................................................)

e.       Persamaan garis berbentuk y= mx + n

Ada tiga kemungkinan yang terjadi pada garis g = y= mx + n yaitu garis naik,garis turun, atau garis mendatar

I
I
I
I
I

Suatu garis dikatakan naik apabila untuk nilai x yang membesar, maka nilai titik koordinat yang berada garis itu juga membesar, dan ini terjadi apabila gradien garis m pasitif

            Suatu garis dikatakan turun bilamana nilai x yang membesar,nilai ordinat yang terletak pada garis mengecil, dan ini terjadi bila gradien m negatif

            Suatu garis dikatakan mendatar bilamana nilai x yang membesar atau mengecil maka nilai ordinat titik yang terletak pada garis itu konstan dan ini terjadi bila gradien m sama dengan Nol

f.       Persamaan garis berbentuk Ax + By + C=0

g.      Persamaan garis yang melalui titik sumbu X dan sumbu Y

Dalil :

......................................................................................................

Bab IV

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL(SPLDV)

A.    Persamaan linear dua variabel (PLDV)

1.      Persamaan linear satu variabel

Bentuk umu dari PLSV adalah ax + b = 0 dengan a  0, dana a,b R . persamaan tersebut merupakan kalimat terbuka dengan x yang dinamakan peubah(variebel) a dinamakan koefisien dan b dinamakan konstanta. Jadi x= -   merupakan penyelasian dari persamaan ax + b =0 . himpunan dari suatu kalimat maka dinamakan himpunan penyelesaian. Dan himpunan penyelesaian dari persamaan ax + b = 0 adalah {-   }

2.      Persamaan linear dua variabel (PLDV)

Persamaan yang berbentuk ax + by + c = 0 dengan a dan b tidak semuanya nol dan a,b R dinamakan persamaan linear dua variabel. Himpunan penyelesaian adalah pasanagan yan urutanya (x,y)yang memenuhi persyaratan itu.jadi himpunan penyelesaian adalah { (x,y) lax +by +c =0, x,y,  R }

B.     PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)

1.      Definisi SPLDV

Perhatikan PLDV dibawah ini !

........................................

PLDV diatas dinamakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dalam bentuk baku, dengan a,b,p dan q,  dinamakan koefisien, c dan r dinamakan konstanta serta x dan y dinamakan variabel.

            Dari persamaan diatas maka terlihat jelas perbedaan bahwa persamaan linear dua variabel (PLDV) memeliki persamaan linear dua variabel sedangkan sistem persamaan linear dua variabel yang merupakan satu kesatuan ( sistem)

C.     Menyelesiakan SPLDV

1.      Menentukan  akar SPLDV

Menentukan SPLDV sama artinya dengan menentukan pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi SPLDV tersebut. Pasangan berurutan (x,y) dinamakan akar(solusi penyelesaian atau jawab) dari SPLDV itu. SPLDV dapat di selesaikan dengan menggunakan beberapa metode tersebut :

a.       Metode Grafik

b.      Metode substitusi

c.       Metode eliminasi

d.      Metode gabungan eliminasi dan substitusi.

Bab V

DALIL PYTHAGORAS

A.    Konsep Dalil Yang Berkaitan Dengan Dalil Pythagoras

1.      Konsep dasar aljabar

a.      Pangkat dua bilangan bulat positif

Jika a adalah bilangan bulat positif maka pangkat dua dari a adalah sebagai berikut

a² = a x a ( a²dibaca : “a pangkat 2 “ atau “a kuadrat “)

b.      Teori beomial

()

2.      Konsep geometri dan ukuran

a.       Luas persegi

L = ²

b.      Luas segitiga

Luas suaatu segitiga    =  alas x tinggi

Luas segitiga ABC      = AB xCF

                                    =  BC x AD

                                    =  AC x BE

B.     Menemukan dalil pythagoras

Secara umum kita dapat merumuskan temuan itu sebagai berikut:

Pada sebuah segitiga siku-siku, luas persegi pada sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah luas persegi-persegi pada sisi lainya. Pertanyaan ini dinamakan  dalil pythagoras

Dengan demikian, dalam ABC siku-siku di C berlaku dalil pythagoras:

AB² = BC² + AC²

C² = a² dan b²

C.    Dalil pythagoras

Kita dapat menyatakan dalil pythagoras sebagai berikut:

Dalil:

Pada sebuah siku-siku kuadrat sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat kedua siku-sikunya

Perhatikan ABC siku-siku di C

BC = = sisi siku-siku

AC = b = sisi siku-siku

AB=c=sisi miringnya

            Dalil pythagoras dalam ABC siku-siku  C ditulis

            AB² = BC²

            C² = a² + b²

Dalil pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut :

Luas daerah yang tidak di arsir = luas persegi ABCD -4 x luas daerah yang di arsir

C² = (a+b) (a+b) – 4 x ab

C² = (a+b)² – 2ab

C² = a² + 2ab + b² – 2 ab

C² = a²+ b²

D.    Menggunakan dalil pythagoras

1.      Menghitung panjang sisi siku-siku jika sisi lain diketahui

Dalam ABC siku-siku di C

1.      Jika sisi a dan b diketahui maka sisi c di hitung dengan rumus :

C² = a²+ b²

2.      Jika sisi b dan c diketahui maka sisi a di hitung dengan rumus:

a² = c²-  b²

3.      Jika sisi a dan c diketahui maka sisi b dihitung dengan rumus :

b² = c²-  a²

2.      Kebalikan dalil pythagoras dan tripel pythagoras

a.       Kebalikan dalil pythagoras

Menurut dalil pythagoras, dalam segitiga siku-siku kuadrat sama panjang hipotenusa yang sam dengan jumlah kuadrat panjang kedua siku-sikunya. Dalil pythagoras dalam ABC siku-siku di C dirumuskan sebagai berikut:

c² = a²+ b²

sedangkan kebalikan dari pythagorasdirumuskan dalam dalil berikut:

dalil:

apabila dalam ABC siku-siku di C berlaku hubungan c² = a²+ b²

maka sudut C adalah siku-siku  C = 90⁰

3.      Jenis segitiga jika diketahui sisi-sisinya

Kegunaan tripel pythagoras adalah untuk membuktikan apakah segitiga itu siku-sikuatau tidak

a.       Jika dalam ABC berlaku hhubungan c² = a²+ b² maka dalam  ABC adalah siku-siku di C

b.      Jika dalam ABC berlaku hhubungan c² > a²+ b² maka dalam  ABC adalah segitiga tumpul

c.       Jika dalam ABC berlaku hhubungan c² < a²+ b² maka dalam  ABC adalah segitiga lancip

4.      Perbandingan sisi sisi segitiga siku-siku Khusus

a.       Perbandingan sisi-sisi segitiga khusus sudut 60⁰ dan 30⁰ pada segitiga siku-siku:

Dalil

Jika suatu segitiga sisi-sisi berbanding 2a : a√3 : a atau 2 ; √3  : 1, maka segitiga itu adalah siku-siku dengan sudut 90⁰ menghadap sisi terpanjang a√3 dan sudut 30⁰ menghadap siku-siku terpendek a,

Kebalikanya:

Sika suatu  segitiga sudut-sudut 90⁰, 60⁰ dan 30⁰ maka perbandingan sisinya adalah 2a : a √3 :a atau 2 ; √3 : 1.

b.      Perbandingan sisi-sisi segitiga khusus  45⁰ pada segitiga siku-siku

Dalil :

Jiika suatu segitiga sisi-sisinya berbanding sebagai a √2 : a :a atau  √2 : 1 :1, maka segitiga itu adalah segitiga siku-siku sama kaki, dengan sudut 90⁰ menghadap sisi terpanjang (hipotunesa) a √2 sudut  45⁰ menghadap sisi siku-sikunya

Kebalikanya :

Jika suatu segitiga sudut-sudut 90⁰ dan  45⁰

Maka perbandinganya sis-sisi adalah a √2 : 1 :1